Напомним постановку задачи. Пусть задан набор из m точек:

(x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (x_m-1, y_m-1);   (x_i ¹ x_j при i ¹ j,   i, j = 0 .. m-1)                    (30)

Среди функций определенного класса Ã требуется найти функцию F(x), для которой величина (евклидова норма)

                                                        (31)

принимает наименьшее значение. Обычно Ã - это линейные комбинации некоторых заранее выбранных функций g_j(x) ( j = 0 .. n-1, n£m), называемых базисными, то есть

                                                          (32)

Пусть A - матрица значений базисных функций в абсциссах точек (30), y - вектор ординат этих точек, a c - вектор искомых коэффициентов:

Известно [36, c.708], что вектор с можно искать как решение нормального уравнения:

A^T × A × c = A^T × y.                                                            (33)

Матрица A^T × A - симметрическая, а если ранг A равен n, то и положительно-определенная. Тогда существует (A^T × A)^-1 и решение (33) единственно:

c = ((A^T × A)^-1× A^T) × y = A⁺ × y.                                                   (34)

Замечание 1. Матрица A⁺ называется псевдообратной для A. Это понятие является естественным обобщением понятия обратной матрицы на случай неквадратных матриц.

адача 7. Метод наименьших квадратов. Пусть наборы экспериментальных точек и базисных функций заданы соответственно векторами

x = (x₀, x₁, ..., x_m-1)^T, y = (y₀, y₁, ..., y_m-1)^T, g(x) = (g₀(x), g₁(x), ..., g_n-1(x))^T.

Составить программу нахождения коэффициентов c_j ( j = 0 .. n-1, n£m) функции (32), наилучшим образом, в смысле метода наименьших квадратов, приближающую экспериментальные данные, и вычисления невязки e .

Решение. С учетом ранее сказанного, используя рекурсивную функцию inverse4(A), решение задачи можно получать с помощью функции:

                            (35)

Передаваемые в qua() фактические параметры - это исходные данные задачи, то есть экспериментальные векторы x, y и набор базисных функций g. При вычислениях по qua() сначала формируется матрица A значений базисных функций. Далее, рекурсивной функцией invers4() решается нормальное уравнение (33), то есть находится вектор коэффициентов искомой функции F(x). Затем вычисляется невязка e . Результат возвращается в виде блочного вектора вида: ( c | e )^T.

Пусть: x := (1    2    3    4    5)^T, y := (4    8    9    7    6)^T, g(t) := (1    t × sin(t)    ln(t))^T.

Вычисляем: qua(x, y, g) = [3.126   0.977   4.804   0.387]

Откуда: F(x) = 3.126 +  0.977 × x × sin(x) + 4.804 × ln(x),   e  = 0.387.

Замечание 2. Часто F(x) ищут в классе многочленов степени не выше n-1, беря в качестве базисных функций мономы g_j(x) = xⁱ ( j = 0 .. n-1).