Пусть, как и ранее, A - невырожденная матрица размером n´n и E - единичная матрица того же размера. Тогда существует и единственна обратная матрица A^-1 - такая, что A × A^-1 = A^-1 × A = E. Находить её можно по-разному, что и отражается постановкой задач 4-6.

адача 4. LU-обращение матриц. Составить рекурсивную программу-функцию нахождения обратной матрицы, используя LU-разложение исходной квадратной невырожденной матрицы A размером n´n.

Решение. Определение элементов обратной матрицы можно свести к решению n систем уравнений вида (12):

A × x = b (b Î {e₀, e₁, ..., e_n-1}),                                             (17)

где все компоненты каждого вектора e_k (k = 0 .. n-1) равны нулю, кроме компоненты с индексом k, равной единице. Последнее обстоятельство непосредственно вытекает из определения обратной матрицы: A × A^-1=E. С помощью LU- или LUP-разложения каждая такая система, как мы уже видели, решается с трудоемкостью Q(n²) операций. Поэтому решение всех систем (17) может быть реализовано за Q(n³) операций.

На основе LU-разложения A получить обратную для неё матрицу можно с помощью функции invers1(A), обращающейся к рекурсивной функции inve1(M,n,k). В качестве фактических параметров в inve1() передаётся: вектор с компонентами LU-разложения A, а также конечное (n-1) и начальное (0) значения номеров решаемых систем (17). В каждом рекурсивном вызове inve1() формируется очередной свободный член e_k (k = 0 .. n-1) и решается соответствующая ему система. Результаты вычислений отдельных вызовов запоминаются в виде столбцов возвращаемой обратной матрицы:

                               (18)

                                               (19)

адача 5. LUP-обращение матриц. Составить рекурсивную программу-функцию нахождения обратной матрицы, используя LUP-разложе-ние исходной квадратной невырожденной матрицы A размером n´n.

Решение. Применим алгоритм, используемый при решении задачи 4, но на основе LUP-разложения A. Аналогами функций inve1() и invers1() в данном случае будут следующие функции:

                                (20)

                                              (21)

 Заметим, что в рекурсивной функции inve2() при решении очередной k-й системы свободный член формируется как столбец с индексом k матрицы перестановки P = M₂.

 Контрольный пример.

адача 6. Обращение матриц разбиением на клетки. Составить рекурсивную программу-функцию нахождения обратной матрицы, используя разбиение исходной квадратной невырожденной матрицы S размера n´n на клетки.

Решение. Пусть матрица S представлена в клеточном виде:

                                                             (22)

где квадратные диагональные матрицы A и D имеют соответственно порядки p и q (p+q=n). Положим,

W = D^-1,  K = (A - B × W × C)^-1,  L = -K × B × W,  M = -W × C × K,  N = W - W × C × L.   (23)

Если матрицы W и K существуют, то нетрудно проверить, что размеры пар A и K, B и L, C и M, а также D и N совпадают и

                                                           (24)

Вычисления элементов матрицы (24) можно организовать более эффективно, проводя их в последовательности:

                   (25)

Беря формулы (25) в качестве расчетных для нахождения S^-1 и считая порядки диагональных матриц приближенно равными n/2, нам придется совершить два обращения и шесть умножений таких матриц. Так часто и поступают. Но можно пойти дальше, рассматривая формулы (25) как декомпозиционные, рекурсивно применяя их к вычислению обратных матриц, полученных на первом этапе, и т. д., а в качестве базы рекурсии взять случай, когда порядок вычисляемой обратной матрицы становится равным единице. Именно эти соображения и реализуются рекурсивной функцией inve3(S):

            (26)

Из проведенных рассуждений вытекает, что вычисления по формулам (25), а значит и с помощью функции inve3(S), не всегда возможны. Однако если S - симметрическая положительно-определенная матрица, то этим же свойством обладают матрицы D и A - B × D^-1 × C. Следовательно, они обратимы [36, с. 688- 704] и потому по формулам (25) матрица S^-1 может быть найдена. Этот факт с успехом используется для обращения произвольной невырожденной матрицы S. Дело в том, что S^-1  =  (S^T × S)^-1× S^T, а S^T × S - симметрическая положительно-определенная матрица. Отсюда S^-1 можно находить с помощью ранее построенной функции inve3(S) следующим образом:

                                               (27)

Замечание. Для симметрических положительно-определенных матриц S можно записать более эффективный аналог функции inve3(S), сократив требуемое количество умножений матриц с шести до четырех. Соответствующая рекурсивная функция inve4(S), приведенная ниже, базируется на возможности представления обратной для S матрицы в следующем клеточном виде [36, с. 702]:

W = (D -  C × A^-1 × B)^-1,

              (28)

Ничто не мешает использовать inve4(S) и для обращения произвольных квадратных невырожденных матриц S. Делать это можно, например, с помощью функции

                                                 (29)

При этом нелишне помнить, что из-за ошибок округления вычисления по invers4(S) могут “привести к успеху” и при вырожденной матрице S. Следовательно, если заранее об S ничего не известно, то полученный результат обязательно следует подвергать той или иной проверке на достоверность.