адача 31. Составить программу-функцию, возвращающую коэффициенты многочлена g(x), который получается в результате перемножения биномов (x - v_k) (k = 0,1,...,n-1; n³1): g(x) = (x - v₀)×(x - v₁)×...×(x - v_n-1).

Решение. Будем считать, что свободные члены биномов заданы в виде компонентов некоторого вектора v = (v₀   v₁   ...   v_n-1)^T, а результат вычислений должен возвращаться также в виде вектора. Поскольку

g(x) = [(x - v₀)×(x - v₁)×...×(x - v_n-2)]×(x - v_n-1),

то несложно организовать рекурсию по количеству перемножаемых биномов. Соответствующая программа-функция могла бы выглядеть так:

Контрольный пример:

t := (1   -5   2)^T,       probin(t)^T = [1   2   -13   10].

Замечание. Пусть по известным корням c₁, c₂, ... , c_n унарного многочлена f(x) степени n требуется найти его коэффициенты a₁, a₂, ... , a_n:

Унарность f(x) означает, что коэффициент при старшей степени x равен единице. Этим обеспечивается единственность решения поставленной задачи и коэффициенты a_k (k = 1,2,...,n) можно находить, например, с помощью формул Виета:

Однако конкретные вычисления по этим красивым формулам проводить затруднительно. Проще это делать с помощью рекурсивной функции probin(c), где с - вектор из корней f(x): c=(c₁   c₂   ...   c_n)^T. А возможность эта вытекает из представления f(x) = (x - c₁)×(x - c₂)×...×(x - c_n).