Для большинства выпускников средних учебных заведений, а во многих случаях и выпускников педагогических вузов, внутренняя красота математики остается непонятой из-за обилия в соответствующих курсах рутинных немотивированных упражнений и задач. Как следствие происходит сужение объема получаемых знаний учащимися и затрудняется понимание ими концептуальной и системообразующей роли естественно-математи-ческого образования в общекультурной подготовке специалиста в любой предметной области. Современные информационные технологии способствуют более правильной расстановке акцентов при освоении обширного арсенала математических знаний, являющихся сокровищами человеческой культуры. Во многих случаях они помогают сделать первые шаги в тех или иных достаточно сложных разделах математики. В частности, это касается визуализации экзотических объектов, позволяющей более полно оценить роль эстетического чувства в математическом творчестве. Об этом и некоторых других вопросах и пойдет речь ниже.
В конце девятнадцатого века в связи с построением примеров непрерывных и нигде не дифференцируемых функций начали интенсивно изучаться геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела и т.п., имеющие “сильно изрезанную форму” и обладающие некоторыми специальными свойствами однородности и самоподобия [7]. Возрождением интереса к таким объектам, также как и появлением в 1975 году термина “фрактал”, а затем и раздела математики, именуемого “фрактальной геометрией”, мы обязаны Бенуа Б. Мандельброту [4, 5, 17, 19].
Слово “фрактал” происходит от латинского термина
fractus, производным от которого является английский термин fraction – дробь. В 1919 году Ф. Хаусдорф ввел понятия a -меры (a ³ 0) и метрической размерности для множеств евклидова пространства [8, 15]. С математической точки зрения фрактал – это прежде всего множество с дробной хаусдорфовой размерностью, нечто промежуточное между точками и линиями, линиями и поверхностями, поверхностями и телами. Выяснилось, что дробную размерность имеют многие ранее изучавшиеся в математике объекты, такие как канторово множество, кривая Вейерштрасса, кривая Кох и т.д. Ниже приведены примеры фрактальных кривых. С помощью рекурсивных алгоритмов [12-14] построены графики ломаных, в том или ином смысле приближающие эти кривые. Алгоритмы реализованы на языке программирования вычислительной среды Mathcad. Для некоторых из рассмотренных фракталов подсчитана хаусдорфова размерность. Следует подчеркнуть, что фракталы представляют собой адекватный образ многих интересных природных объектов. Их можно видеть и в изящных очертаниях гор, и в причудливой линии морского берега, и в замысловатой форме облака, и в размашистой кроне цветущего дерева, и в притягивающей красоте пламени костра. Немудрено поэтому, что в последнее время фракталы оказались в фокусе интенсивных научных исследований и используются в таких важных и разнообразных приложениях, как медицина, биология, физика полимеров, геоморфология, теория броуновского движения, теория турбулентности, астрофизика, теория катастроф, теория вероятностей, теория диофантовых приближений и т.д.
