Теперь решим задачу, связанную с экзотическими средними. Рассмотрим два положительных числа a0 и b0 и составим их среднее арифметическое и среднее геометрическое. Продолжим этот процесс рекурсивно. Если числа an и bn уже построены, то определим an+1 и bn+1 следующим образом:
(2)
Известно, что последовательности {an} и {bn} стремятся к общему пределу, и, следуя Гауссу, его называют средним арифметико-геометрическим исходных чисел a0 и b0.
адача 11. Составить рекурсивную программу-функцию, по которой для неотрицательных чисел a и b можно было бы приближенно вычислять их арифметико-геометрическое среднее.
Решение. Параметрами задачи естественно считать исходные величины a, b и количество итераций n по формулам (2). Рекурсию организуем по n, а решением задачи будем считать матрицу (an bn). Построить соответствующую функцию несложно, и выглядеть она может, например, так:
Контрольные примеры:
Снова отправляясь от двух положительных чисел a0 и b0, станем последовательно составлять средние арифметические и средние гармонические:
(3)
Известно, что последовательности {an} и {bn}, строящиеся по рекуррентным формулам (3), стремятся к общему пределу. Его называют средним арифметико-гармоническим исходных чисел a0 и b0. Оказывается, что среднее арифметико-гармоническое двух чисел совпадает с их средним геометрическим.
адача 12. Составить рекурсивную программу-функцию, по которой для неотрицательных чисел a и b можно было бы приближенно вычислять их арифметико-гармоническое среднее, то есть приближенное значение
Решение. Как и в предыдущем случае, параметрами задачи естественно считать исходные величины a, b и количество итераций n по формулам (3). Рекурсию организуем по n, a решением задачи будем считать матрицу (an bn). Соответствующая функция может выглядеть так:
Контрольный пример: