Предложенную ранее серию рекурсивных программ легко модифицировать для решения вопросов подобных тем, что рассматривались в задачах 1 и 2. Например, легко было бы доказать следующее естественное дополнение к задаче 1.

адача 3. 371 или 407. Первый член последовательности равен любому натуральному числу n, сравнимому с двойкой по модулю 3, а каждый последующий член равен сумме кубов цифр её предыдущего члена. Доказать, что члены любой такой последовательности начиная с некоторого места равны 371 или 407.

Заметим, что для натуральных n, сравнимых с единицей по модулю 3, картина несколько иная. Все получаемые последовательности оказываются периодичными с длиной периода 1, 2 или 3, и существует ровно 12 разных периодов.