В дальнейшем термин “понятие” будем трактовать так, как это сделано в “Логическом словаре” Н. И. Кондакова [Ко, 393- 398], то есть как целостную совокупность суждений, в которых что-либо утверждается об отличительных признаках исследуемого объекта, ядром которой являются суждения о наиболее общих и в то же время существенных признаках этого объекта. Понятия неразрывно связаны с материальной языковой оболочкой, и их реальность проявляется лишь в языке. Слово, обозначающее строго определенное понятие какой-либо области знания, называется термином. Понятия об объектах по мере развития науки уточняются, углубляются и совершенствуются. Каждое понятие обладает отображенным в нашем сознании содержанием - совокупности отличительных, существенных свойств, признаков и отношений объектов, и объемом - множеством объектов, каждый из которых имеет признаки, зафиксированные в исследуемом понятии. Понятия делятся на классы по разному основанию. По соподчиненности - на родовые (подчиняющие) и видовые (подчиненные), по объему отображаемых понятий - на единичные и общие, по степени абстракции - конкретные и абстрактные.

Всякий учебный курс для лучшего понимания и качественного усвоения конкретного предмета строится вокруг некоторой системы понятий, выстраиваемой на основе множества базисных понятий соответствующей области знания, но не совпадающей с ним. Для любой учебной дисциплины стараются отобрать по возможности минимальное количество терминов и понятий, достаточных для четкого и ясного изложения проектируемого для данного курса содержания. Кроме того, “учебные” понятия, как правило, являются существенно менее общими по сравнению со своими аналогами в науке. Интенсивная работа по отбору и уточнению основных понятий школьного курса информатики началась уже в самом начале 60 годов вместе с появлением в некоторых средних учебных заведениях курсов по программированию и (или) кибернетики, явившихся предпосылкой будущей информатизации школы (С. И. Шварцбурд, В. М. Монахов, В. С. Леднев, И. Н. Антипов и др.). Вскоре появилось большое количество разных по качеству толковых словарей по информатике, правда, не ориентированных специально на школу [Шах, Шиш, Жда]. Мощный дополнительный импульс эта работа приобрела в 1985 году при создании учебных пособий и методических материалов для нового школьного предмета “Основы информатики и вычислительной техники” (А. П. Ершов, В. М. Монахов и др.). В дальнейшем под руководством и при непосредственном участии А. П. Ершова был составлен и издан в 1988 году “Словарь школьной информатики”. Но вышел он в качестве приложения к весьма объемному “Математическому энциклопедическому словарю” и потому оказался, к сожалению, практически недоступным для школьников. Поэтому в 1991 году под редакцией академиков А. П. Ершова и И. М. Шанского был издан новый терминологический словарь по основам информатики и вычислительной техники [Ерш].

Достаточно много и плодотворно отбором и толкованием первичных понятий информатики школьного курса занимался А. С. Лесневский. При этом он исходил из следующих основных постулатов: во-первых, в соответствии с нашей национальной традицией среднее образование достаточно глубоко и фундаментально, во-вторых, информатика, несомненно, является фундаментальной наукой, и, следовательно, её основы и должны изучаться в школе. Что касается навыков работы на компьютере, то они могут осваиваться на уроках труда. В статье [И94.2, с. 41] в качестве основных, для изучения в школе, выделены понятия: объекта, свойства объекта, множества объектов, множества как объект, отношения, математической и информационной модели, знака (буквы), языка. Строго говоря, этим перечнем и ограничивается совокупность основных понятий, необходимых для изучения информатики. Как нетрудно видеть, в качестве первичного в нем нет даже понятия алгоритма, которое сводится к понятию модели. В 1997 году Лесневский А. С. успешно защитил диссертацию “Становление системы понятий информатики в школьном образовании” на соискание ученой степени доктора педагогических наук. Однако бурное развитие информатики и быстрое изменения содержания соответствующих школьных и вузовских дисциплин способствует продолжению проведения многочисленных терминологических исследований. Появляются все новые и новые толковые словари по информатике, как в бумажном варианте, так и в виде Web-сайтов сети Internet.

Рекурсия является ключиком, открывающим многие двери. Однако большим препятствием на пути её становления как эффективного средства для решения многих прикладных задач является неразработанность соответствующего понятийного и терминологического аппарата. Поясняя в первом параграфе, что такое рекурсия, мы были вынуждены ввести в рассмотрение несколько специальных терминов. Этот ряд необходимо продолжить. С учетом уже введенных понятий, смысл большей части остальных терминов становится интуитивно ясным. Тем не менее, мы приведем короткие пояснения (неформальные определения) к каждому из вводимых терминов. Это позволит в дальнейшем избежать неточностей или двусмысленностей при описании рекурсивных алгоритмов. Заметим, что родовым для всех обсуждаемых ниже понятий является уже рассматренное ранее понятие рекурсивного объекта. Напомним его.

Важнейшей особенностью объекта, которая позволяет назвать его рекурсивным, является наличие в нем некоторых базовых компонентов (составляющих, элементов, подобъектов), доступных для непосредственного изучения (описания, задания, определения, вычисления), и наличием внутренних связей (переходов, преобразований) в множестве всех компонентов, которые позволяют любой из них по некоторой единой схеме (правилу, предписанию, алгоритму) конструктивного выразить через один или несколько базовых компонентов.

Подчеркнем, что разработка понятийно-категориального и терминологического аппарата рекурсии, относится к области методологии и тем самым обретает особую важность на современном этапе, когда идут непрерывные дискуссии о роли и месте информатики в общеобразовательной школе и педагогическом вузе. Потребность в разработке понятийной системы “прикладной” рекурсии осознавалась и раньше. И практические шаги в этом направлении конечно предпринимались [Не, Фр, Ан, Ам]. Однако какой-либо целостной системы на этот счет разработано не было. Впрочем, понятийный строй рекурсии конечно должен рассматриваться в историческом плане и всегда быть открытой и незавершенной системой.

Минимальный набор понятий и терминов, относящихся к рекурсии или её изучению, которые должны быть прочно усвоены студентами, приведен ниже. Если имеется несколько толкований одного термина, то они даются в рубриках А, B, … . Классификации понятий по разным основаниям не проводится, но предлагаемый список структурирован семантически. Группы связанных по смыслу понятий, по возможности, располагаются рядом, причем каждое из них имеет ссылки лишь на элементы верхней части списка. Заметим, что не вся вводимая терминология непосредственно применима для так называемой косвенной рекурсии.

Слов и словосочетаний по рекурсии, активно используемых в математике, насчитывается порядка 300. Однако для успешного использования рекурсии в практике решения прикладных задач освоение этого обширного арсенала математических понятий вряд ли необходимо. Для общеобразовательных целей достаточно знакомства лишь с несколькими из таких понятий, приведенных ниже.

Остановимся на одном интересном примере взятым из [Бе, с. 18] и недвусмысленно говорящем о непрерывном возрастании интереса к разработке понятийных систем в самой педагогике. В нем речь идет о частоте употребления самого термина “понятие” в учебниках педагогики: в учебном пособии А. А. Ананьина (1917 г) - 1 раз, в “Педагогике” Н. Д. Виноградова (1922 г) - 20 раз, в “Педагогике” А. П. Пинкевича (1924 г.) - 22 раза, в “Педагогике” под редакцией П. Н. Груздева (1940 г.) - 25 раз, в “Педагогике” по редакцией И. А. Каирова и др. (1956 г.) - 29 раз, в “Педагогике” Т. А. Ильиной (1969 г.) - 42 раза и т. д. Что касается термина “категория”, то стабильное употребление этого термина началось с Т. А. Ильиной.

Исследования понятийно-терминологического аппарата “прикладной” рекурсии является основой для последующего выявления его категориальности. Категории и понятия по своей природе и родовой принадлежности - явления идентичные. Но категории стоят выше понятий, одновременно сохраняя все их признаки. Поэтому “категории всегда понятийны, но не все понятия категориальны. От понятия до категории научное познание проходит долгий путь развития” [Бе, с. 25]. Но эти вопросы лежат вне нашего поля зрения.